ホームページを作ろうと思っているのですが、
例えば、
Tシャツのカテゴリページを「自社ドメイン/t-shirt.html」、
ズボンのカテゴリページを「自社ドメイン/pants.html」とカテゴリに任意の名前のURLに出来ますか？

また、Tシャツの商品詳細ページを
「自社ドメイン/t-shirt/2012t-shirt-0a.html」
「自社ドメイン/t-shirt/2012t-shirt-0b.html」
「自社ドメイン/t-shirt/2012t-shirt-0c.html」
と順番に設定して商品を登録したり出来ますでしょうか？

少なくとも、EC-CUBE のみだとサポートしていないので、URL リライトを保守するなど、考える必要がありそうです。

プロキシを行うプログラムを追加すれば、EC-CUBE の商品マスターデータとの連動もできなくも無さそうですね。(結構複雑なカスタマイズが必要だとは思います。)

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Seasoft
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Apacheのmod_rewriteを利用して、特定の文字列の指定でもカテゴリページや
商品詳細ページで商品を表示できるようにすれば、比較的簡単に実現可能かと思われます。

まず、カテゴリを任意の名前のURLにするには、
カテゴリに任意の文字列を設定するためのカスタマイズ（管理画面、DBスキーマ共に）が必要となります。

たとえば、その文字列をcategory_codeとしておきます。

カテゴリ表示ページにてcategory_codeからでもそのカテゴリを参照できるように変更します。

URLにてcategory_code=t-shirtと指定されてリクエストされた際に、
その文字列の指定されているカテゴリページを読み出すというPHP側のカスタマイズとなります。

その後、Apacheのmod_rewriteにて「自社ドメイン/category_code.html」という形式で送られたリクエストを
上記のページへリダイレクト（フォワード）するという設定をします。

以上でカテゴリの対応は完了するかと思われます。

商品についても、商品詳細ページを商品コードや商品に付けた任意の文字列から
参照できるようにすれば実現可能です。

これらはSEO対策等でよく利用される、URL静的化といわれる作業で、
Webで調べると様々な情報がありますので、是非調べてみてください。