「会員登録をせずに購入」→「お客様情報入力」「お届け先を指定」チェックボックスにチェックを入れず、お届け先住所名前等を入力せず「上記のお届け先のみに送る」を押すと入力を促すエラーメッセージが出ます。（テキストボックスはグレーのまま）

2.13.0でもそのような状態だったので、改善されているかと思い
2.13.1のバージョンアップを試みましたが変わりませんでした。

http://svn.ec-cube.net/open_trac/changeset/23174

こちらを確認しましたが、自分のファイルと同じ記述になっていることも確認済みです。

・バージョンアップ（上書き）の際、installフォルダはもともと削除していたのでバージョンアップのファイルだけサーバーに置かれている状態になってしまっている。
・test,testsフォルダはアップロードしなかった。

EC-CUBE 2.13.1
PHP 5.2.9
MySQL 5.0.45
サーバー：tsukaeru.net

他に見ておいたほうがよい箇所はありますか。
また、新しいバージョンをインストールしたどなたかで、そのような不具合はありましたでしょうか。色々調べましたが、あまり情報がなく、こちらに投稿させていただきました。

ローカルで設置しているv2.13.0とv2.13.1で確認してみましたが、エラーメッセージは出ずに、次の画面に遷移しました。

確認していただいてありがとうございます。
そうでしたか…何故なんでしょう。
改めてインストールするのは難しいので現状で修正できればよいのですが。

data/class/pages/shopping/LC_Page_Shopping.php

このへんをなんとかできればいいんでしょうね

最新版ECCUBE 2.13.1をダウンロードし、関連すると思われるファイルを更新していきましたところ、正常に動くようになりました。

原因は
/data/class_extends
のどれかのファイルでした。
どれかというのは、最初はひとつひとつ確認していたのですが、
class_extendsフォルダはブン投げで丸ごと更新したので
詳しく調べることができませんでした。

いちおう
LC_Page_Admin_Order_Edit.php
から
SC_FormParam
を探り当ててたどり着いた結果でした。

ご確認いただき、ありがとうございました。