でしたら、思い切って

$rootPath = str_replace(HTML_PATH, "", $realPath);
var_dump(HTML_PATH. " : ". $realPath. " : ". $rootPath);
die();

として、処理を止めちゃいましょう。

すみません。
残念ながら、ログインを押すと、

string(121) "/var/www/vhosts/ドメイン/httpdocs/ : /var/www/vhosts/ドメイン/httpdocs : /var/www/vhosts/ドメイン/httpdocs"

空白に上記だけ表示され戻るをクリックするとログインされる状態です。

引用：

はい、それでいいです。
変数の値が知りたかったので、わざと処理を止めるプログラムに書き換えていただいたのです。

で、そこの処理は問題無いっぽいですね

ただ、install.php の
define ('URL_DIR', '＊＊＊＊');
の値が気になります。
最後に/が付いてないんじゃないですか？

define ('URL_DIR', '＊＊＊＊');

ですが、複数サイト運営しており、問題ないサイトも問題のあるサイトもURL_DIRは、

define ('URL_DIR', '/');

スラッシュのみでした。

ためしに、URLをそのまま入れてみましたが、ログインは正常になるが、管理画面でのログインが例の如く、サイトのTOPが表示されてしまいます。

ついでにinstall.phpの他の値ですが、下記になります。

<?php
define ('ECCUBE_INSTALL', 'ON');
define ('HTML_PATH', '/var/www/vhosts/ドメイン/httpdocs/');
define ('SITE_URL', 'http://ドメイン/');
define ('SSL_URL', 'https://ドメイン/');
define ('URL_DIR', '/');
define ('DOMAIN_NAME', '');
define ('DB_TYPE', '★★★');
define ('DB_USER', '★★★');
define ('DB_PASSWORD', '★★★');
define ('DB_SERVER', '127.0.0.1');
define ('DB_NAME', '★★★');
define ('DB_PORT', '');
define ('DATA_PATH', '/var/www/vhosts/ドメイン/httpdocs/data/');
define ('MOBILE_HTML_PATH', HTML_PATH . 'mobile/');
define ('MOBILE_SITE_URL', SITE_URL . 'mobile/');
define ('MOBILE_SSL_URL', SSL_URL . 'mobile/');
define ('MOBILE_URL_DIR', URL_DIR . 'mobile/');
?>

引用：
のものです。

data\class\pages\frontparts\LC_Page_FrontParts_LoginCheck.php

93行目
$this->sendRedirect($this->getLocation(URL_DIR, array(), false));
↓
$this->sendRedirect($this->getLocation(URL_DIR."index.php", array(), false));

121行目
$this->sendRedirect($this->getLocation(URL_DIR, array(), false));
↓
$this->sendRedirect($this->getLocation(URL_DIR."index.php", array(), false));

でどうでしょう。

上記で試したところOKでした。
ありがとうございます。助かりました。

それでこの問題は結局のところ特定のサーバのみで起こる現象なのでしょうか？

今後の為にこの現象が起こるのはどのような人がわかりましたらお教えくださると幸いです。

よろしくお願いします。

理論的にはすべてで起こるはずなんですけどね。。

いちを上の説明を書きます。

URLは以下のように作られます。

ドメイン/$rootPath=($realPath-HTML_PATH)

＜本現象のURL＞

HTML_PATH : /var/www/vhosts/ドメイン/httpdocs/
$realPath : /var/www/vhosts/ドメイン/httpdocs
$rootPath : /var/www/vhosts/ドメイン/httpdocs

表示されたURL :
ドメイン//var/www/vhosts/ドメイン/httpdocs
→Not Found


<修正後のURL>

＜本現象のURL＞

HTML_PATH : /var/www/vhosts/ドメイン/httpdocs/
$realPath : /var/www/vhosts/ドメイン/httpdocs/index.php
$rootPath : index.php

表示されたURL :
ドメイン/index.php
→トップページ

ふと思ったのですが、こちらの方法ですと、商品一覧や詳細ページにてログインするとTOPに戻ってしまいますよね？

戻らない解決策は別にあるということですよね？

こちらは最新版の、

LC_Page_FrontParts_LoginCheck.php

で修正されていまいたね。