[EC-CUBE] 2.13.3
[レンタルサーバ] data-hotel.net
[OS] windows7
[PHP] 5.3.29 (Core, date, ereg, libxml, openssl, pcre, sqlite3, zlib, ctype, curl, dom, fileinfo, filter, gd, hash, iconv, json, mbstring, mysql, SPL, PDO, pdo_sqlite, session, posix, Reflection, standard, SimpleXML, soap, SQLite, Phar, tokenizer, xml, xmlreader, xmlwriter, apache2handler, mcrypt)
[データベース] MySQL 5.5.40
[ブラウザ]firefox,chrome

10月からネクストエンジンを取り入れ、
注文管理をしており最近お客様からクレームの連絡が何度か来ており
納期通りに商品発送しているためネクストエンジン上で調べると該当客の注文がヒットせずEC CUBE管理画面ではヒットする。
ネクストエンジンの注文の取り込み方法がメールベースのため管理者にメールが来ない場合はネクストエンジン内に取り込まれない
といったバグかと思います。

過去記事を確認すると

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[1] ECサイト管理ページにログインします

[2] メニューからシステム設定をクリックします

[3] パラメーターの設定でMAIL_BACKENDの設定値を下記のように修正します
　------------------------------------
　[修正前]
　MAIL_BACKEND 　　"smtp"
　[修正後]
　MAIL_BACKEND 　　"mai"l
　------------------------------------
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とありますがそもそも2.13.3に
MAIL_BACKENDという項目がございません。

わりと深刻な問題でございますのでご教授頂けますと幸いでございます。

data/config/config.phpに項目はあると思いますが、恐らくmailになっているんじゃないかと思います

メールが管理者に届かないのはメールサーバーの問題が多い気がします
（自分から自分へメールを送るようになっていると拒否されたり他にも色々あります）

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EC-CUBEのカスタマイズ、トラブル解決承ります
お気軽にお問い合わせ下さい
https://www.ec-cube.net/integrate/partner/partner.php?partner_id=690

>data/config/config.phpに項目はあると思いますが、恐らくmailになっているんじゃないかと思います

define('MAIL_BACKEND', 'mail');
define('SMTP_HOST', '');
define('SMTP_PORT', '');
define('SMTP_USER', '');
define('SMTP_PASSWORD', '');

となっておりました。
どうすればいいのでしょうか。。。

かなり困っているのですが誰か分かる人いますでしょうか。

管理者宛のメールすべてが届いていないのでしょうか?

red様のコメントにもありますが、
メール自体は送信されているが、迷惑メールフォルダに入っていたり、サーバ側で受信拒否されていたり、といった報告も過去にありました。

ちなみに問い合わせメール等も同じように管理者側は受信できないのでしょうか?

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全部ではございません。
全体の1割ほどがメールが管理者側に届かないのです。