EC CUBE初心者です。

１．商品登録の基本情報にある商品カテゴリの一部を削除したいのですが、どのようにすれば可能でしょうか。

２．新たに商品登録した商品が表示されません。何を編集すれば表示されるようになるのでしょうか。

>１．商品登録の基本情報にある商品カテゴリの一部を削除したいのですが、どのようにすれば可能でしょうか。
商品カテゴリ自体を削除したいのであれば、
管理画面の商品管理＞カテゴリ登録の画面で、カテゴリを削除できると思います。
但し、カテゴリーに紐づく商品を全て外さないと、カテゴリー登録画面の削除リンクが押せないようになっています。

>２．新たに商品登録した商品が表示されません。何を編集すれば表示されるようになるのでしょうか。
商品登録画面の右上にある公開、非公開のラジオボタンが非公開になっていませんか？
新規登録時のデフォルトは非公開になっています。