同じような投稿があったのですが、解決策がわからなかったので
投稿させていただきます。

[EC-CUBE] 2.4.3
[レンタルサーバ] WADAX
[PHP] PHP 5.2.13
[データベース] MySQL 4.1.22

InternetExploreでは正常に買い物ができるのですが、
Firefoxだと、商品をカゴに入れ、カゴの中が表示され、
その後、『購入手続きへ』ボタンをクリックすると、
「※ 現在カート内に商品はございません。」と表示されてしまい、買い物ができません。

原因、対策を教えていただけないでしょうか？
宜しくお願いします。

内容が漠然としすぎており、上記情報のみで原因を特定するのは困難です。
過去ログなどを参照して分るとおり、ある環境だとできて別の環境だとできないという場合は、EC-CUBEの問題というよりも、環境設定の問題のケースが多いです。

今回のケースで一番初めに疑われるのは、ブラウザの環境設定です。

まず確認すべき点は、
・未カスタマイズの状態でおきるか？
→該当処理に関係すると思われる箇所をカスタマイズしているか？

・キャッシュを削除してもおきるか？
→Webにおけるキャッシュ問題は、よくあります。

・site.logなどのになにか記載されていないか？
　→バグったらまず確認しましょう。
というありきたりのものとなります。

その他の開発時の基本的なこと
・開発中は必ずブラウザのjavaScriptのエラーを表示させる設定に変更する。
・可能であればphp.iniの設定を変更し、デバッグ情報を出力する設定に変更する。
・EC-CUBE管理画面のシステム設定のパラメータ設定でデバッグモードをTrueにする。
を忘れているようであれば、行ってください。

上記を確認した上で、まだ原因が特定できないようであれば、追加の詳細を記載し、回答を募るとよいでしょう。