はじめまして。
独自ドメインでの運用です。

eccubeをインストール（バージョン2.11.1）し
サイトの表示は出来るようになったのですが、
構築が終わるまで、サイトを公開したくないのですが
非公開にすることは出来るのでしょうか？

できれば構築が完了したら、サイト公開というような切り替えを
行いたいのですが、教えていただきますよう
宜しくお願い致します。

Basic認証によるアクセス制限は如何でしょうか？

利用されている環境（WEBサーバの種類やレンタルサーバ等）によって、
設定方法が違う為、
細かな設定方法については、説明できませんが、
私は、いつもBasic認証をhtmlフォルダ（公開フォルダ）に設定して利用しております。

事前に関係者にのみ公開したい場合は、
IDとPASSを関係者に伝えて、サイトの閲覧を許可するようにしております。

サーバーはレンタルサーバですか？