ご回答ありがとうございます!
config.phpを下記のように編集してアップしました。

define('MAIL_BACKEND', 'mail');
define('SMTP_HOST', 'mail.○○○○.jp');
define('SMTP_PORT', '25');
define('SMTP_USER', '○○○@○○○.com');←管理人メールアドレス
define('SMTP_PASSWORD', '上記メールのパスワード');

でも、やっぱり管理者にも顧客にもメールが送信されません。
使用しているサーバにもよると思うので一概にこれ!とは言えないとは思うのですが、何か間違ってますでしょうか?