自己解決しましたのでご連絡させていただきます。
本件はパーミッションやシステムに関連する不具合ではありませんでした。

結論からいえばサーバー設定によるエラーです。
弊社ではHetemlサーバーを利用しておりますが、1アカウントあたり100万ファイルまでという制限がございました。

数十サイトを１アカウントに詰め込んで運営しており、その制限１００万ファイルに到達しておりました。

そのため、１００万１ファイル目にキャッシュの書き込みが発生して、エラーとなりました。

みなさんはこんなことないかと思いますが、珍しい事象でありますので自己解決の報告をさせていただきます。

それでは引き続きよろしくお願いします。