自動アップデート機能を利用してのバージョンアップが早いと思いますが、カスタマイズしている場合は難しいでしょうね。。

当方の場合、環境があるのでコールドスタンバイなどのサーバーにバージョンアップ後のEC-CUBEをインストしカスタマイズした箇所を手直しして再度アップし、サーバー切り替えという考え方。
DBは別サーバでローカル接続しています。

もう一つの考えはバージョンアップ前のEC-CUBEがインストされているフォルダとは別にバージョンアップ後のEC-CUBEをインストしサーバー側でバージョンアップ後のフォルダへドキュメントルートを変更する方法。これだと、稼動中のサーバーでも可能なので別サーバーを用意する必要はない。

まだやったことはありませんが、本番稼動後のバージョンアップとして上記の方法を考えています。