＞商品注文画面で個人情報を入力し次へボタンをクリックしても同じ画面のまま次の画面に進めません

何かカスタマイズをしていますか？
その画面まで遷移できているのであれば設定ではなくデザイン、PHP側の何らかの問題かと思います。
画面が進まずエラーがでない場合、多くはデザインテンプレート修正時に予期せぬ間違った修正をかけているか、PHP側カスタマイズ時に何か重要な処理を削っている場合です。
運用中のサイトで正常に動いていたのであれば、ファイルの移行し忘れなども疑われます。

＞PHPのバージョンが既存サイトが5.1.6、heteml上のテストサイトが5.2.8と違うのですが、これの影響はあるのでしょうか？

関係は無いと思います。

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