返信ありがとうございます。
そして、formについてサイト紹介までしていただきありがとうございます。
さっそく書いてみました。
こんな感じでいいのでしょうか？

<form name="form1" id="form1" method="post" action="/cart/?product_id=商品ＩＤ&transactionid=<!--{$transactionid}-->">
<input type="hidden" name="<!--{$smarty.const.TRANSACTION_ID_NAME}-->" value="<!--{$transactionid}-->" />
<input type="hidden" name="mode" value="cart" />
<input type="hidden" name="product_id" value="商品ＩＤ" />
<!--数量-->
　　　　<p>数量：
　　　　<select name="quantity" value="1" />
<option value="1">1</option>
<option value="2">2</option>
<option value="3">3</option>
<option value="4">4</option>
<option value="5">5</option>
</select>個</p>
<!--買い物かごに入れる-->
<input type="submit" value="買い物かごに入れる" />
</form>

試しにボタンを押してみたのですが、カートには入りませんでした。しかも、商品削除ボタンがきかなくなる現象が起きました。

ご教授お願いいたします。