定期購入サービスを開始したいので、GMOペイメントゲートウェイ様と契約し、カートとしてEC-CUBEを導入するに至りました。
EC-CUBEを導入し、
PGマルチペイメントサービス決済コア機能プラグイン 1.0
ＰＧマルチペイメントサービス 定期購入プラグイン 2.12
PGマルチペイメントサービス 決済補助機能プラグイン 1.3
を導入しました。
設定をして定期購入商品として購入できるようになりました。
また、上記以外に
クーポンプラグイン 1.3.1 (by M-soft)
を導入しております。

受注に至りまして、定期購入商品なので受注のデータと定期購入受注管理の両方にデータが登録されるはずなのに登録されておりません。

今回定期購入の商品を購入していただいたのですが、マニュアルを見ると、定期購入の商品を購入した場合、
『正常に購入すると、EC-CUBE 標準の受注管理ページに受注データが登録されると共に、定期購入受
注管理(下図)にも併せてデータが登録されます（2 カ所に記録されます）。 』
とあるのですが、定期購入受注管理の方には確認できておりません。。。。

こちらの解決方法を教えて頂けますでしょうか。

プラグインは競合してうまく動作しないことがあります。
一度、クーポンプラグインを停止して試されてはいかがでしょうか。
その上で、正しく動作しない場合はGMOペイメントゲートウェイに問い合わせるのが良いと思います。

ご返答ありがとうございます！
早速やってみます！