ただいまさくらインターネットのレンタルサーバー【スタンダード】にて日本語独自ドメインで運用したく設定しております。
（/htmlも最終的には消したい）

クイックインストール、FTPの通常インストール、どちらをやっても問題が起きて困っております。
(ver3.0.10、3.0.13どちらでも)

・初期ドメインでインストール[xxx.sakura.ne.jp/ecxxx/html]
　→EC-CUBEは正常にインストール可能
　→初期ドメインでアクセスすると正常
　→日本語ドメイン.comでアクセスするとcssが読み込めない感じのデザイン崩れ発生
　※独自ドメインのドキュメントルートを[/ecxxx]にしても[/ecxxx/html]にしても同じ

・独自ドメインでインストール[日本語.com/html]
　→EC-CUBEはインストール可能
　→独自ドメインでアクセスすると正常表示
　→ただ、商品登録ページで画像の登録だけができない
　「アップロードできません」
　※日本語.comのドキュメントルート[xxx.sakura.ne.jp/ecxxx]
　※/html/upload以下のパーミッション変更してみましたが効果なし
　※アップロードしようとするとプログレスバーは出ます

いろいろ参考にして/htmlを抜く方法もやってみて、
インストールから/html抜きで表示もできましたが、
最終的に画像登録で必ずエラーになってしまいます。

どこらへんの設定かわかりますでしょうか？
さくらで正式サポートされていない日本語ドメインが悪いのでしょうか？

ご教授いただける猛者の方、何卒よろしくお願いいたします。

ちょっと気になったので日本語ドメインでECCUBEの商品登録画面の画像登録を実行してみたところ、
投稿されているエラーが再現されました。

同じ現象であれば、「アップロードできません」のタイミングで、以下のようなエラーログが出力されていると思います。

eccube.ERROR [8eb9c259] [8ff2d6f6] [2] [LogListener:logException:110] - Symfony\Component\HttpKernel\Exception\BadRequestHttpException: リクエストが不正です (uncaught exception) at /**インストールディレクトリ**/src/Eccube/Controller/Admin/Product/ProductController.php line 191

ProductController.phpの191行目でリクエストがajaxかどうかをリクエストヘッダー「X-Requested-With」の値が「XMLHttpRequest」がセットされているかどうか判定しているようですが、
日本語ドメインの時は、これがリクエストヘッダーにセットされないようです。
(jQueryのルールでしょうか？)

詳しい事は分かりませんが、
jQueryはクロスドメインの時は「X-Requested-With」をセットしないそうですので、
日本語ドメインの時は「X-Requested-With」をセットしない挙動をするのではないでしょうか？

ProductController.phpの191行目付近の判定処理を削除、または別の方法で判定するように変更すればエラーは解消されるのではないかと思います。
(セキュリティ的にどうか分かりませんが、判定を削除すれば日本語ドメイン環境でも画像はアップロードできました。)

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株式会社シロハチ
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クイックな返答ありがとうございます。

再現いただいた通りの内容で、
ログからProductController.phpの191行目付近を見てはいたのですが、
プログラムの内容が理解できるレベルではないためさっぱりでした。

提示いただいたように判定処理をコメントアウトしたところ画像のアップロードができました！

今回は初期ドメインでクイックインストール
↓
日本語独自ドメインのドキュメントルートを[/ecxxx/html]に設定して
[http://日本語.com/]からinstall.phpにアクセス
↓
の方法でインストールしまして、表示崩れもなく/htmlも消せました。

今まではここで画像アップできず、の流れでしたが解決できました。

とても助かりました。
ほんとうにありがとうございます！