[EC-CUBE] 2.4.1正式版、新規インストール
[レンタルサーバ] お名前.com
[OS] CentOS release 5.3 (Final)
[PHP] PHP 5.2.10.1
[データベース] MySQL 5.1.39
[WEBサーバ] apache2.2.3
[ブラウザ] IE7/Firefox3.5
[現象] 管理画面からのログインができません。
インストール終了後、管理画面からのログインを試みると「ログイン認証の有効期限切れの可能性があります。もう一度ご確認のうえ、再度ログインしてください。」とメッセージが表示され、ログインができません。
何度かインストールしなおしましたが結果は同じでした。

エラーログには以下のエラーが頻発しておりました。
PHP Fatal error: Class 'SC_DB_DBFactory_MYSQL_Ex' not found in /home/user/eccube-2.4.1/data/class_extends/db_extends/SC_DB_DBFactory_Ex.php on line 51, referer: ｈｔｔｐ://xxxx.xxx/~user/admin/index.php

何か対処方法など御座いましたらご教授お願い致します。

CLASS_EX_PATH あたりが通ってないような気がしますが、
公開側の画面は正常に動作しているのでしょうか？

公開側の画面ですが、セッションを使うようなページ移動で「不正なページ移動です。」となります、なので会員登録も最初の移動でこのエラーとなって登録できません。
それ以外では商品を見たりすることは問題ないです。
ローカルな環境に同じミドルウエアの構成でインストールしてみましたがやはり同じ現象ですね。。。
もう少し色々試してみます。

アーカイブの解凍に失敗しているとか.

zip 版, tar.gz 版とも同じでしょうか?

現在zip版しか試していませんが、こんなページを見つけました。

Bug #48686 Cyclic inclusion of classes
http://bugs.php.net/bug.php?id=48686

試しにエラーが発生した環境でPHPのバージョンだけを5.1へ下げてみたところ、EC-CUBEは側の再インストールすることなくエラーは消えログインもできるようになりました。
また、5.2.10環境でもapcを一旦OFFにしたところ現在ONに戻してもログイン可能です、しばらくこれで様子をみてみます。

やっぱりAPCを有効にするとセッションが必要なページ移動で失敗しますね。

動作が異常と思われる環境は
PHP 5.2.10
APC 3.1.3p1

以下の環境では問題ありませんでした。
PHP 5.1.6
APC 3.0.19

APCの不具合のようですね
特定のパターンで発生するようですが、APCの開発グループは動きがイマイチ最近悪いようなので修正がされていくか怪しいところ・・・

リンク先ではAPCが悪いということでBogusになっていますのでPHPコア側では対処するつもりが無いようです。
APC3.1.1以降はbeta扱いなので致し方ないかもしれません・・・
APCだけ3.0.19を使うようにビルドし直すか、PHPの環境を変えるぐらいしか対処が無さそうです。（もしくはAPCコード自体の問題点を探してコードレベルで直すか

APCのようなコードキャッシュの高速化系は問題が生じた場合は諦めるしかないと思います。

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EC-CUBE公式エヴァンジェリスト
EC-CUBEインテグレートパートナー (株)スピリット・オブ
移転・拡張・高速化・問題解決
各種カスタマイズ・支援依頼承ります。
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アドバイス有難うございます。
そうですね、当面（？）APCの利用は諦めようと思います。
とりあえずEC-CUBEの公開ディレクトリに対してはAPCをDisableする設定で運用します。