自己解決しました。
サーバーに設定されているWAFが原因で、ブロックされていましたので、例外登録をして無事、削除できるようになりました。

お騒がせしました。
同様の現象の方のご参考になれば幸いです。

私も同様の現象で解決策がなく、困っています。
サーバーは、ヘテムルで、商品を削除しようとすると
Chromeのdeveloper toolで、以下のようなエラーが出ます。

jquery-3.3.1.min.js:2
DELETE http://xxxxx/ecadmin/product/product/1/delete 403 (Forbidden)

どなたか解決策をご存知であれば、ご教示いただけると幸いです。

私が確認した環境では現象が再現しない為、こうすれば良いという解決方法がパッと提示できませんが、
既に投稿させていただいた
サーバの設定でPUT/DELETEのメソッドを制限されている可能性はありませんか？

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同じ現象でデフォルトの商品が削除できませんでしたので
現状からどのようにしたら商品が削除できるようになるかご教授頂ければ幸いです。

商品を選択後、削除ボタンを押した後に削除が完了しましたと
システムエラーが表示され削除されません。

何卒、宜しくお願い致します。


EC-CUBE　4.0.1
サーバーOS　Linux
DBサーバー　MySQL 5.6.23-log
WEBサーバー　Apache
PHP　7.1.5

エラーメッセージにも表示されていますが、外部キー制約でエラーが発生しています。

ECCUBE3以降では、複数テーブル間の関係が壊れないように外部キー制約が設定されており、
誤ってデータを削除してデータの不整合が起きないようになっております。

phpMyAdminのバージョンにもよりますが、
SQLの実行画面やレコードの削除時に「外部キー制約をチェックする」等のチェックボックスが表示されて、チェックボックスを外すと
外部キー制約を無視してSQLが実行出来たと思います。

それかSQLを発行する際、先頭に
SET foreign_key_checks = 0;
の1行を書き加えてみては如何でしょうか？

今回はdtb_product_classとdtb_productの関係でエラーが発生しています。
商品データをDB操作で削除する場合は、必ず2つのテーブルそれぞれから商品データを削除するようにしてください。
既に売上が発生していたり、お気に入りに登録されているような商品の場合、それぞれのテーブルからレコードを削除する必要があるかと思います。

因みに、この外部キー制約が商品を削除できない原因かどうかは判断しかねます。
4.0.1のデフォルトのECCUBEで挙動を確認してみましたが、
初期登録されている商品、新規追加した商品は問題無く削除できました。
（サーバはCPIではありませんが...ECCUBEのログではなく、
　サーバのコントロールパネル側でエラーログは確認できないのでしょうか？）

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ログについては、infoのようですので、
エラーとの関係は無く、アクセスのあった内容を記録しているものと思います。

>PUT/DELETEはhtaccessで基本許可するものなのでしょうか？
>レンタルサーバの方で制限しているといううこともあり得ますでしょうか？
レンタルサーバの仕様によりますので一概には何とも言えないかと思います。

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phpmyadminで直接削除を試みたところ
下記のエラーになりました

#1451 - Cannot delete or update a parent row: a foreign key constraint fails (`データベース名`.`dtb_product_class`, CONSTRAINT `FK_1A11D1BA4584665A` FOREIGN KEY (`product_id`) REFERENCES `dtb_product` (`id`))

直接削除は良くないことは承知の上ですが、
もしこのエラーをご存知の方いらっしゃいましたらお願いします。

ご返信ありがとうございます。

リンク先の記載をhtaccessに記述をしてみましたが
前回のログは消え
[2019-01-04 13:11:03] request.INFO [N/A] [364d7e1] [N/A] [Symfony\Component\HttpKernel\EventListener\RouterListener:onKernelRequest:125] - Matched route "admin_product". {"route":"admin_product","route_parameters":{"_controller":"Eccube\\Controller\\Admin\\Product\\ProductController::index","_route":"admin_product"},"request_uri":"ドメイン/index.php/管理画面パス/product","method":"GET"} [GET, /shop/index.php/管理画面パス/product, 58.91.157.239, ドメイン/index.php/管理画面パス/product, Mozilla/5.0 (Macintosh; Intel Mac OS X 10_14) AppleWebKit/605.1.15 (KHTML, like Gecko) Version/12.0 Safari/605.1.15]

が新しく表示されました
削除できないのは変わりません

PUT/DELETEはhtaccessで基本許可するものなのでしょうか？
レンタルサーバの方で制限しているといううこともあり得ますでしょうか？

ご鞭撻いただければ幸いです。

CPIとのサーバーでうまく言っていないところがあるのかもう少し探ってみようと思います。

サーバの設定でPUT/DELETEのメソッドを制限されている可能性はありませんか？
別の処理での現象ですが、「完了しました」メッセージの後に「ERROR システムエラーが発生しました」と表示されるという投稿がありました。
こちらの現状はhtaccessでPUT/DELETEを許可したら解消されたそうです。

https://xoops.ec-cube.net/modules/newbb/viewtopic.php?viewmode=thread&topic_id=21367&forum=11&post_id=89835#forumpost89835

商品削除の処理を確認すると、GETやPOSTではなく、DELETEメソッドで通信されているようですので、もしかしたらと思いました。

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コメントありがとうございます

[2018-12-28 12:46:39] php.INFO [3ro8a4c8phu9ca88t375keol1s] [113e1b1] [1] [Symfony\Component\Debug\ErrorHandler:handleError:523] - User Deprecated: Doctrine\Common\ClassLoader is deprecated. {"exception":"[object] (ErrorException(code: 0): User Deprecated: Doctrine\\Common\\ClassLoader is deprecated. at /usr/home/データベースユーザ名/html/shop/vendor/doctrine/common/lib/Doctrine/Common/ClassLoader.php:7)"} [GET, /shop/testtest/product, 58.91.157.239, 管理画面ドメイン/content/page/2/edit, Mozilla/5.0 (Macintosh; Intel Mac OS X 10_14) AppleWebKit/605.1.15 (KHTML, like Gecko) Version/12.0 Safari/605.1.15]

見た限りですと、エラーらしきlogはこちらです