ご対応ありがとうございます。ご返信遅くなり恐れ入ります。

WADAXに問い合わせてみたところ、

ApacheでPUT, DELETE通信が許可されていない可能性についてですが、現時点では許可されていない状況で、技術部門にて設定変更が可能かどうか検証中とのことでした。

これに起因することかもしれませんが、バージョンアップをしようと、プラグインのインストールを試みましたが、システムエラーが表示されます。
他のプラグインも同様に、インストールをしようとしても、同様のエラーが表示されます。

ログにエラーに関する情報は出ていないように見受けられますが
以下の投稿のようにApacheでPUT, DELETE通信が許可されていない可能性は無いでしょうか？
https://xoops.ec-cube.net/modules/newbb/viewtopic.php?viewmode=thread&topic_id=24059&forum=2&post_id=98178#forumpost98178

WADAXでは無かったと思いますが、WAFが有効だとこの辺りの操作が正常に動作しないという投稿も前に見かけた気がします。

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▼テンプレート
[EC-CUBE]4.0.2　新規インストール
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[WEBサーバ] Apache
[ブラウザ] Google Chrome
[カスタマイズの有無] フッター部分の色を変更、セコムWebステッカーの設置と説明記載
[現象] 受注一覧から、出荷メール送信をクリックすると

出荷お知らせメールを送信します
完了しました。

ERROR システムエラーが発生しました
ERROR システムエラーが発生しました

が出力されます。

ログは

[2020-06-16 16:36:59] app.INFO [N/A] [05ad1bc] [1] [Eccube\Log\Logger:log:68] - PROCESS END ["admin_setting_system_log"] [GET, /cp-bin/eccube4/gjpsakai/setting/system/log, 1.66.37.198, https://www.gdefence.com/cp-bin/eccube4/gjpsakai/order?resume=1, Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/83.0.4103.97 Safari/537.36]
[2020-06-16 16:36:54] app.INFO [N/A] [684ca8e] [1] [Eccube\Log\Logger:log:68] - PROCESS END ["admin_order"] [GET, /cp-bin/eccube4/gjpsakai/order?resume=1, 1.66.37.198, https://www.gdefence.com/cp-bin/eccube4/gjpsakai/order?resume=1, Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/83.0.4103.97 Safari/537.36]
[2020-06-16 16:35:58] app.INFO [N/A] [b459caa] [1] [Eccube\Log\Logger:log:68] - PROCESS END ["admin_shipping_preview_notify_mail"] [GET, /cp-bin/eccube4/gjpsakai/shipping/preview_notify_mail/6, 1.66.37.198, https://www.gdefence.com/cp-bin/eccube4/gjpsakai/order?resume=1, Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/83.0.4103.97 Safari/537.36]

です。

また、受注管理の出荷済みマークをクリックし、出荷済みに更新するをクリックしても同様のエラーが表示されます。

その時のログです。
[2020-06-17 14:10:03] app.INFO [N/A] [2e10d7a] [1] [Eccube\Log\Logger:log:68] - PROCESS END ["admin_setting_system_log"] [GET, /cp-bin/eccube4/gjpsakai/setting/system/log, 1.66.37.198, https://www.gdefence.com/cp-bin/eccube4/gjpsakai/order?resume=1, Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/83.0.4103.97 Safari/537.36]
[2020-06-17 14:09:56] app.INFO [N/A] [d7b28ef] [1] [Eccube\Log\Logger:log:68] - PROCESS END ["admin_order"] [GET, /cp-bin/eccube4/gjpsakai/order?resume=1, 1.66.37.198, https://www.gdefence.com/cp-bin/eccube4/gjpsakai/order, Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/83.0.4103.97 Safari/537.36]
[2020-06-17 14:09:45] app.INFO [N/A] [79549f2] [1] [Eccube\Log\Logger:log:68] - PROCESS END ["admin_shipping_preview_notify_mail"] [GET, /cp-bin/eccube4/gjpsakai/shipping/preview_notify_mail/6, 1.66.37.198, https://www.gdefence.com/cp-bin/eccube4/gjpsakai/order, Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/83.0.4103.97 Safari/537.36]
[2020-06-17 14:09:34] app.INFO [N/A] [75882c6] [1] [Eccube\Log\Logger:log:68] - PROCESS END ["admin_order"] [GET, /cp-bin/eccube4/gjpsakai/order, 1.66.37.198, https://www.gdefence.com/cp-bin/eccube4/gjpsakai/setting/system/log, Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/83.0.4103.97 Safari/537.36]
[2020-06-17 14:08:23] app.INFO [N/A] [a0a5b4f] [anon.] [Eccube\Log\Logger:log:68] - PROCESS END ["homepage"] [GET, /cp-bin/eccube4/, 114.119.164.185, NULL, Mozilla/5.0 (Linux; Android 7.0;) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Mobile Safari/537.36 (compatible; PetalBot;+https://aspiegel.com/petalbot)]
[2020-06-17 14:08:23] front.INFO [iuguu1lqcbirof4j4q2enec7c1] [a0a5b4f] [anon.] [Eccube\Log\Logger:log:66] - LOGIC END ["homepage"] [GET, /cp-bin/eccube4/, 114.119.164.185, NULL, Mozilla/5.0 (Linux; Android 7.0;) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Mobile Safari/537.36 (compatible; PetalBot;+https://aspiegel.com/petalbot)]
[2020-06-17 14:08:22] front.INFO [N/A] [a0a5b4f] [anon.] [Eccube\Log\Logger:log:66] - LOGIC START ["homepage"] [GET, /cp-bin/eccube4/, 114.119.164.185, NULL, Mozilla/5.0 (Linux; Android 7.0;) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Mobile Safari/537.36 (compatible; PetalBot;+https://aspiegel.com/petalbot)]
[2020-06-17 14:08:22] front.INFO [N/A] [a0a5b4f] [anon.] [Eccube\Log\Logger:log:66] - fallback to PC layout [] [GET, /cp-bin/eccube4/, 114.119.164.185, NULL, Mozilla/5.0 (Linux; Android 7.0;) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Mobile Safari/537.36 (compatible; PetalBot;+https://aspiegel.com/petalbot)]
[2020-06-17 14:08:22] front.INFO [N/A] [a0a5b4f] [anon.] [Eccube\Log\Logger:log:66] - PROCESS START ["homepage"] [GET, /cp-bin/eccube4/, 114.119.164.185, NULL, Mozilla/5.0 (Linux; Android 7.0;) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Mobile Safari/537.36 (compatible; PetalBot;+https://aspiegel.com/petalbot)]
[2020-06-17 14:08:22] front.INFO [N/A] [a0a5b4f] [N/A] [Eccube\Log\Logger:log:66] - INIT [] [GET, /cp-bin/eccube4/, 114.119.164.185, NULL, Mozilla/5.0 (Linux; Android 7.0;) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Mobile Safari/537.36 (compatible; PetalBot;+https://aspiegel.com/petalbot)]
[2020-06-17 14:08:04] app.INFO [N/A] [385b98e] [1] [Eccube\Log\Logger:log:68] - PROCESS END ["admin_setting_system_log"] [POST, /cp-bin/eccube4/gjpsakai/setting/system/log, 1.66.37.198, https://www.gdefence.com/cp-bin/eccube4/gjpsakai/setting/system/log, Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/83.0.4103.97 Safari/537.36]
[2020-06-17 14:08:01] app.INFO [N/A] [491530e] [1] [Eccube\Log\Logger:log:68] - PROCESS END ["admin_setting_system_log"] [GET, /cp-bin/eccube4/gjpsakai/setting/system/log, 1.66.37.198, https://www.gdefence.com/cp-bin/eccube4/gjpsakai/product, Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/83.0.4103.97 Safari/537.36]

なにとぞご教授よろしくお願いします。