ご返信ありがとうございます。
大変参考になりました。
また相談させてください。

投稿いただいた状況からサーバスペックが不足しているかと思われます。
弊社の運営しているECサイトでも瞬間的にアクセスが集中するような商品があるのですが
従量課金制クラウドサーバを利用して該当商品の在庫投入時には
10CPU、メモリ128Gくらいまでスケールアップして対応しています。
(WEBサーバやMySQLの設定値も都度変更しています)

アクセス負荷に対してはECCUBUのカスタマイズだけでは限界があり、
サーバの並列化等、ハードウェア、ネットワークを含めて総合的に設計をしていく必要があるかと思います。

取り急ぎ、緊急性が高いのであれば、コストが割高になるかもしれませんがAWS等の従量課金制クラウドサーバを利用し、
単体サーバで性能を調整できるようにしておいて、
その後、時間をかけてサーバ環境の再構築を行えば良いのではないでしょうか？

あと、
・会員登録メールが届かない。
の件については、外部のメール配信サービスを利用する等の方法も検討されたほうが良いかと思います。
短時間に一つのサーバから大量にメールを送信するとドコモ、au、ソフトバンク等はスパム判定を行い、しばらくメールが届かなくなる事があるようです。

・受注CSVをダウンロードすると、データがすべてダウンロードできない。
こちらはPHPのmemoly_limitの設定値等が原因ではないでしょうか？

もしかしたらサーバの乗り換えまでせずに、Apache、PHP、MySQLの設定値を変えるだけで改善されるかもしれませんので
その辺りが変更できるプランなのであれば、設定値を触ってみるのも良いかもしれません。

Zenlogicホスティングのサービスを見ていると
サーバー設定チューニングのサービスもあるようですので
サポートに相談されてみるのも良いのではないでしょうか？

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株式会社シロハチ
■ECCUBE2系、3系構築カスタマイズご相談ください。
■EC-CUBE3マニュアル
■blog

▼テンプレート
[EC-CUBE] EC-CUBEの4.0.3、新規インストール
[レンタルサーバ] Zenlogic　ホスティング プラン7　ビギーガ・シリーズ
[OS] Linux
[PHP] 7.3.15
[データベース] MySQL 5.1.73
[WEBサーバ] Apache
[ブラウザ] firefox, chrome
[導入プラグインの有無] 会員ランクプラグイン, イプシロン決済プラグイン, 販売制限機能プラグイン, 商品並び替えプラグイン
[カスタマイズの有無] デザイン変更、会員登録ページにGoogle reCAPTCHA を追加、Wordpress もインストールしている
[現象]
一度に大量のお客様がアクセスするタイミングがあり、
・会員登録メールが届かない。
・購入完了画面までたどり着けない。
・そのためにイプシロンのクレジット決済では課金されているが、ECCUBEの受注には存在しない決済データが残る。
・受注CSVをダウンロードすると、データがすべてダウンロードできない。
などの減少が発生しております。

多い時は、5時間くらいで5000件以上の受注があります。
現在会員数は3万人を超えています。5日でこれだけ増えました。
すぐに対策を求められていますが、途方に暮れております。
サーバーを変えないといけないのか、ECCUBEのカスタマイズでなんとかなるのか、どうかアドバイスをお願いします。
また、安定に稼働できるように改修を行ってくれるような企業様がいましたら、作業をお願いしようかとも検討しております。
よろしくお願いいたします。