キャッシュを消しても同じでしょうか？
（より状況が悪くなる可能性もないわけではないのでデータベースのバックアップぐらいはしておいた方が良いかもしれません)

外部キー制約に引っかかってスキーマの変更ができないようですが
プラグインが原因のことも考えられますし、独自カスタマイズが原因の可能性も考えられます。

エラーの周辺に実行しようとしたSQLの記載がされていないでしょうか？
あるいはndex 'xxxxx'の部分からインデックス名が分かるはずなので、どのカラムが原因になっているかは調べれば分かるかと思います。

これだけで判断は難しいですね。
対応が難しいようであれば一度インテグレートパートナーさんに問い合わせられた方が良いかもしれません。

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[EC-CUBE4.0.4]
再インストール

[レンタルサーバ]
さくらインターネット

[PHP]
PHP 7.4.7

[データベース]
php my admmin mysql5

[導入プラグインの有無]
特定会員割引プラグイン for EC-CUBE4
配送方法設定拡張プラグイン
運送会社連携プラグイン
PGマルチペイメントサービス決済プラグイン
マイページ領収書印刷プラグイン

[カスタマイズの有無]
商品ごとに年齢制限

[現象]
管理画面からプラグインをステータス変更、削除、アップデートどれを行ってもシステムエラーが出てしまう。

コマンドラインからもやってみましたが状況は変わらず。
このようなエラーが出ております。

SQLSTATE[HY000]: General error: Cannot drop index 'xxxxx': needed in a foreign key constraint

どうか助けてください。
よろしくお願いいたします。

プラグインをコマンドラインで全消去、再インストールで全て解決しました。
ご協力いただきありがとうございました。