すみません。問題解決しました。
メールを受信しないのは、会員登録した人へのメールは
サーバーの仕様なのかは不明ですが、かなりの時間で遅延が発生していました。

画面が表示できないのは、FTPでデータをUPした際にタイムエラーで一部のデータが正常に上がっていませんでした。

お手数をおかけしました。

さくらサーバーのクイックインストールに切り替え、実装してみた結果、404は解消されましたが、

注文受付や会員登録、パスワード再発行等のメールが送られて来ない状況は変わりませんでした。

メールサーバーとWEBサーバーが別物とは考えにくいのですが、
何か設定が悪いのでしょうか？

有難うございます。調べた結果、PHPのバージョンも影響しているのではないかと考えました。まだ解決には至っていませんが、
ご教授頂いた内容を踏まえ、改修してみます。

メール設定の登録時に404エラーが発生する事とメールが送信されない件は別々の問題の可能性もあるかと思いますが、
404エラーのほうはデバッグモードにしてログを確認してみるのが良いかと思います。

メールが送信されない件は、.envファイルのMAILER_URLの設定が環境に合っていないのかもしれません。
ヘテムルを利用した事がないのでよく分かりませんが、メールサーバはWEBサーバとは別のサーバだったりするのでしょうか？

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株式会社シロハチ
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▼テンプレート
[EC-CUBE]:Version 4.0.4（新規インストール）
[レンタルサーバ]：ヘテムル
[OS]：win10
[PHP]:7.4（モジュール版）
[データベース]：mysql
[WEBサーバ]ヘテムル
[ブラウザ]：Google Chrome、Firefox
[導入プラグインの有無]：無し
[カスタマイズの有無]：デザインのみ編集中
[現象]
管理画面>店舗設定>メールの設定　にて各種（注文受付メール）などの設定にて登録ボタンをクリックすると404エラーが表示され設定できません。
また、商品を登録してテスト注文しても
メールが送られてきません。
何か、インストール時に問題を起こしてしまったのでしょうか？

注文受付メールも自動返信メールも送られて来ないため
根本的な何かを間違っているのでしょうか？
お手数をおかけしますがご教授下さいませ。