解決済みです。
ありがとうございました。

丁寧にサポートありがとうございます。
やはりカスタマイズで失敗したようです。
管理機能に必要な部分（ADMINフォルダ以下）を再インストールしたら回復しました。
バックアップは必要ですね・・・汗

インストール当初は登録出来たのであれば、商品管理の登録機能のカスタマイズに問題があるのでしょうから、そこの差分を確認していって、デバッグするしか無いと思います。

＞商品の追加、商品登録が出来ないということってありうるのですか？

標準状態、またはカスタマイズを正常にしている限りは通常は起きないと思います。

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変更だけでなく、商品登録も出来ません。
新規登録が出来ないとなると・・・削除して、登録しなおすという作業も出来ない為・・・困っています。
OPENの最終チェックでこのような自体になり、OPENが出来ず困りはててしまいました。

http://yokarou-mon.com/shop/

見た目にはきれいにカスタマイズできたのですが・・・
商品の追加、商品登録が出来ないということってありうるのですか？

他が正常であるならばカスタマイズが何かしらの影響を及ぼしている可能性が非常に高いと思います。
そうなると特定は中々難しいと思います。

ちなみに何もしていないのに突然起きたと言うことであれば、
最近起きて、ここのコミュニティでも何回も話題に出ているロリポップの仕様変更の影響も疑うと良いと思います。

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カスタマイズはかなりやっています。
値引き等の表示を消したり、ポイント利用について消したりとかなりカスタマイズはやっていますが、管理サイトの内、商品についてのみ、追加や複製、変更が出来なくなっているようです。
ブラウザについては、通常IE8.06で確認していますが、FIREFOX3.61で確認してみましたが･･･同様の状況です。

直前に何かカスタマイズとかされていませんか？
ブラウザは変えて試してみましたか？

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変更を行った行動がログには表示されます。
例えば、
商品マスタで既存の商品を検索して、その内の1つを変更する為に、編集をおします。そして商品の内容を変更後に「確認ページへ」のボタンを押したあとに「FFFTP」ソフトを使って
ログを確認すると、
一連の流れで

[/shop/admin/products/index.php]
[/shop/admin/products/index.php]
[/shop/admin/products/product.php]
[/shop/admin/products/product.php]

とこのページが2回ずつアクセス成功しています。
書き換えられているか？についてはログの意味がわからないので
私にはわかりませんが・・・

site.logなどのログには何か出ているのでしょうか？

EC-CUBEバージョン 2.4.4
PHPバージョン PHP 5.2.6
DBバージョン MySQL 5.1.34-log
サーバー　ロリポップ利用

いきなりなんですが
商品管理の商品名の変更が出来なくなりました。
変更後に確認ボタンを押しても確認ページへ移動しなくなりました。
これはＰＨＰがおかしいのでしょうか？
おかしい場合はどのフォルダのどのＰＨＰを復旧もしくは書き換えたら直るのでしょうか？