私もこのプラグインを使おうかと思い、少しいじってみました。

app/Plugin/InstagramApi/Controller/InstagramApiController.php の以下2ヶ所を修正すればひとまず使えそうですね。

@@ -30,7 +30,7 @@ class InstagramApiController
$instaAccessToken = $accessInfo['api_token'];
$instaUser = $accessInfo['api_user'];

- $userApiUrl = 'https://api.instagram.com/v1/users/search?q=' . $instaUser . '&access_token=' . $instaAccessToken;
+ $userApiUrl = 'https://api.instagram.com/v1/users/self/?' . 'access_token=' . $instaAccessToken;

$http_response_header = array();

@@ -39,10 +39,8 @@ class InstagramApiController
$instaJson = mb_convert_encoding($instaJson, 'UTF8', 'ASCII,JIS,UTF-8,EUC-JP,SJIS-WIN');
$instaArray = json_decode($instaJson,true);

- foreach ($instaArray['data'] as $insta) {
- if ( $instaUser == $insta['username']) {
- $userId = $insta['id'];
- }
+ if ( $instaUser == $instaArray['data']['username']) {
+ $userId = $instaArray['data']['id'];
}

$photos_api_url = 'https://api.instagram.com/v1/users/'.$userId.'/media/recent?access_token=' . $instaAccessToken . "&count=12";


...2ヶ所めのifは不要かな、、selfなんだし、、、

...そもそもこっちをいじった方がもっとスッキリ書き直せそうですね。。。
$photos_api_url = 'https://api.instagram.com/v1/users/'.$userId.'/media/recent?access_token=' . $instaAccessToken . "&count=12";
→ https://api.instagram.com/v1/users/self/media/recent/?access_token=ACCESS-TOKEN

参考: User Endpoints