この場合はサーバー側の話になりますので、直接ec-cubeに関係するわけではないと思います。
旧IPを000.000.000.000　とし、新IPを111.111.111.111とします。
そしてドメインはtestと仮定した場合、現行のドメインは旧IPにまだ向いているはずです。
参考：
http://www.cman.jp/network/support/ip.html

よって、ドメインそのものが新しい新IPに向かせるためにはネームサーバーの操作が必要になります。
この場合、ドメインを取得した会社にIPが新しくなったから移行してくれ　と頼めばやってくれます。またはご自身でネームサーバーをコントロールできるのであればIPアドレスを変更してあげればうまくいくと思います。
参考：
https://www.verisign-japan-domain.com/help/faq/410015/index.html

ドメインと新IPが結びついたとしても、サーバー上やネット上のキャッシュが残っている場合があるので、インターネット全体にドメイン＝新IP　という認識が行き渡るまでしばらく時間がかかります。（数十分から数日）

やりたいことと、ずれていたらすみません。

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何分知識が浅いですが･･･
出来得る限り協力したいと思っています