PostgreからMysqlへの移行を行いたいのですが、現時点での顧客データ及び受注データを引き継ぐことは可能でしょうか？

引継ぎ方法等、お教えいただければ非常に助かります。

Postgre環境が手元にないので確認できないのですが、（エンジニアがいれば）技術的には可能だと思います。

データ量が膨大ではないのでしたら、手順としては

　【１】データ移行先のMySQLを準備
　【２】Postgre からデータ書き出し
　【３】MySQLへデータ書き出し

で移せると思います。

まず【１】ですが、精神衛生上、スッキリするのが、MySQLで EC-CUBE をゼロからインストールすることでしょうか？
現在お使いのプログラムをそのまま保存しておき、ゼロからインストールしたところにソックリ上書きすればコードは問題なくなります。

【２】Postgreからデータを書き出すのは

pg_dump -d eccube_db > eccube_db_dump

で良いと思います。-d を付けておけば、一般的な INSERT 文が生成されます。

【３】MySQLへデータを移す（INSERTする）のが少し厄介かもしれません。

まずは、テーブル構造を残しつつ、インストール時に登録される「おなべ」のデータなどを全て削除（delete）。

この後、

mysql < eccube_db_dump

で行ければ良いのですが、Postgreにしかないデータ型を変更したり、キーの設定をしないといけないかもしれません。
エラーが出たら修正、の繰り返しでしょうか？

注意点として：

可能な限り、テスト環境を用意して現サイトは保存しておく。
PostgreとMySQLでテーブル構造に違いがあるかどうかを確認しておく。（descコマンドなど）