確認したクライアント環境書き忘れていました。
OS Windows8 Enterprise 64bit
確認したブラウザ
　Internet Explorer10.0.33
　Firefox 42.0
　google Chrome 46.0.2
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画面上では、他のブラウザでログイン可能なユーザー名とパスワードを入れても、再度ログイン用のユーザー名とパスワードを入れる画面が現れるだけです。

例えば、
ログインIDがabcdefg
パスワードが1234567
とします。

Chromeでパスワードを間違えて入れた場合
赤文字でログインできませんでした…のメッセージが出て
ログインIDに「abcdefg」が残り、パスワード空白で
ログイン画面が表示され、これは他のブラウザと同じ状態となります。

正しいユーザー名とパスワードを入れた場合、
何故か管理者画面に入らずに再度ログイン画面が表示されます。
ただ、ログインIDの箇所は何も残らず空白のままです。

…パスワード間違えた時にメッセージは出るので、ログインのチェックは通っているみたいですが…

エラーログも確認してみましたが何も残されていませんでした。

Chrome自体の問題か？とはじめはおもったのですが、
同じDB内容、プログラムでもさくらインターネット共有サーバー以外の環境だと
Chromeでもうまくいくのです…

さくらインターネット側の問題かと言っても
Chromeを使わず、他のブラウザを使えば大丈夫ですし…
発生の組み合わせが限定的過ぎてどう調査したものだか？？です。
あとはログイン処理のプログラムのあたりで確認用のコードを
色々書いてアップロードしつつ試してみるしかないでしょうか？