サーバーはどこまで操作できますか？

サーバー操作できるのでしたら、簡単に移動できると思います。
webサーバーのドキュメントルートを変更するか、インストされているec-cubeディレクトリの中にあるhtml、data、COPYINGを現在のドキュメントルート位置に配置する。後は data/install.php　を変更する。
当方の場合は直接ディレクトリを移動してやってますが、問題なく稼動しております。

ただ、共有のレンタルサーバーだとドキュメントルートと同階層にdataディレクトリを配置できないかも。。