既存EC-CUBEのサイトをサーバ移行する必要があります。

現在のEC-CUBEのバージョンが、2.4.1で、移行後のEC-CUBEのバージョンが2.4.3になります。（もう一つ別のEC-CUBEサイトとバージョンをあわせるため。）

その際の移行手順を教えてください。

既存EC-CUBEサイトのデータ自体はDB（MySQL）をエクスポートして移行後サーバへインポートすればよいと思いますが、カスタマイズ情報はどのようにすればよいのでしょうか？
また、EC-CUBEのバージョンが変わることで問題は発生しないでしょうか？

初歩的な質問かもしれませんが、よろしくお願い致します。

カスタマイズの状況にもよりますが、(ファイルは当然として) DB にも、バージョン間の変更点を結合する必要があります。

各バージョン間で必要と思われる、DB 変更のサンプルSQLを公開しています。
http://seasoft.jp1.cx/ec/%E3%82%A2%E3%83%83%E3%83%97%E3%83%87%E3%83%BC%E3%83%88/%E6%AD%A3%E5%BC%8F%E7%89%882.4/

実際には、カスタマイズ状況によっても実行する内容は変化しますが、参考にでもなれば幸いです。

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Seasoft
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