すみません、DirectoryIndexはどこで見る事ができるでしょうか？
検討違いかもしれませんが、htaccessでは
order deny,allow
allow from all
<IfModule mod_rewrite.c>
RewriteEngine On
RewriteCond %{REQUEST_FILENAME} !-f
RewriteCond %{REQUEST_FILENAME} !^(.*)\.(gif|png|jpg|css|ico|js)$ [NC]
RewriteRule ^(.*)$ index.php [QSA,L]
</IfModule>

と書いてあります。
また、エラーのONも設定してみましたがエラー内容はかわらずでした。
フォルダの構成は分かりづらいかもしれませんが、以下の通りです。
index.phpはhtml内に入っていないです。

app
autoload.php
cli-config.php
composer.json
composer.lock
COPYING
docs
html-
ーーindex_dev.php
ーーplugin
ーーtemplate
ーーupload
ーーuser_data
ーーweb.config
index.php
phpunit.xml.dist
robots.txt
src
tests
vendor



PS　ここまで回答くださり、大変申し訳ありませんが、時間の都合上何日かかるか見えないので、最初からある程度コピペしてつくりなおす事にしました。

ありがとうございます。
サーバーはcpiのレンタルサーバーを使用しています。

DirectoryIndexもhttpd.conf内に設定される項目です。

nanasess様のコメントにもありますが、
まずは、htmlフォルダのパーミッションが適切かどうかをご確認いただけますか?

CPIサーバできになった点が一つ：
公式のマニュアルではないのですが、この記事によると
http://raining.bear-life.com/tag/mod_rewrite
引用：
とあります。
EC-CUBEでもmod_rewriteを使用していますので、このあたりもご確認いただいた方がよいかもしれません。

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CPIのサーバーは、パーミッションの設定を厳密にしないと動作しない場合が多いです。
CPIのサポートにお問い合わせいただくと良いかと思います。

ありがとうございます。
そちらの方も試してみます。


PS　ここまで皆様ご回答くださり、大変申し訳ありませんが、時間の都合上何日かかるか見えないので、誠に勝手ではありますが最初からある程度コピペしてつくりなおす事にしました。