自己レスです。

調査した結果、対応方法が１つ見つかりましたので、
報告しておきます。

onclickでの return false が効かないので、
function fnModeSubmit() の document.form1.submit();
と
function fnFormModeSubmit() の document.forms[form].submit();
の処理の後に
event.returnValue = false;
を追記しました。

また、商品詳細からカートに入れる処理は
onclick="document.form1.submit();"
となっているので、商品一覧と同じように
fnModeSubmit('cart','product_id','<!--{$tpl_product_id}-->');
という処理に変更しました。
※管理画面→デザイン管理→ページ詳細設定→商品詳細ページを変更

一応、これで動作確認をして大丈夫だったようですが、
足りない点や間違えている点などありましたら、ご指摘いただけると助かります。

よろしくお願いします。