すみません。
色々調べてみたのですが、現時点でリリースされているcomposerは最新版が1.10.6のようですので
sada1019さんのサーバで動いているcomposerが2.0という訳ではないようです。
表示されているメッセージは事前の警告文のようなものかと思います。
紛らわしい回答をしていて申し訳ございません。

ただ、サーバで動作しているcomposerのバージョンを確認するにはターミナルによる操作が必要なのではないかと思います。

あと、プラグインがインストールされない件ですが
処理の流れを追っていくと
/src/Eccube/Controller/Admin/Store/PluginController.php function install()
でインストール処理が行われているかと思います。
この辺りをデバッグして、どこまで処理が進んでいて、どこでおかしくなっているか1ステップずつ確認していく必要があるかもしれません。

少し面倒臭いかもしれませんが
log_info('step1');
のようなログ出力の処理を1つずつ追記して、どこまでログが出力されるか確認するような形になるかと思います。

更に
/src/Eccube/Service/PluginService.php function install()
の処理を通って、/app/Plugin以下のディレクトリへのファイル展開やデータベースへの登録を行っているようです。
データベースへの登録が完了していない事から
/src/Eccube/Service/PluginService.php function postInstall()の途中で止まっているのではないかと思うのですが...

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株式会社シロハチ
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ご返信ありがとうございます。

サーバーはレンタルサーバーで、PHPのバージョンの切替は
管理画面から行っています。

あるサーバー会社のOEMサーバーを契約しており、
そこに領域を作ってEC-CUBE4を導入しております。

ターミナルは利用できないので、FTPのみでセットアップしています。

Composer はEC-CUBE4独自のモジュールではなく、PHPに附属しているものなのですね。
phpinfo() とかでは確認がとれませんでしたが、バージョンなどターミナル以外で確認をする方法はあるのでしょうか？
ターミナルでないとバージョンダウンはできないでしょうか？

よろしくお願いいたします。

require.ec-cube/CategoryExtensionB is invalid, it should not contain uppercase characters.

上記のメッセージの部分で表示されていますが
Composer2.0では大文字が非推奨となってエラーが出ています。

先に確認しておけば良かったですが、サーバはどのような環境をご利用でしょうか？
Composerのバージョンを2.0以下に変更する事は可能ですか？
レンタルサーバをご利用でしたらphpのバージョンを切り替えると
Composerのバージョンが古くなっていたりしましたので
phpのバージョン変更を投稿しましたが
ログを見た限りではComposerは2.0で実行されているみたいですね。

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ご返信ありがとうございます。
早速PHPのバージョンは 7.2.29 にして試してみました。
状況は変わらずでした。
インストール完了となるのですが、
プラグイン一覧には「インストール」ボタンが
表示されたままで有効化ボタンは表示されておりません。

dtb_pluginテーブルにもレコードが追加されておりませんでした。

debugログは　以下でした。
このログの中に、
「Failed to initialize global composer: Composer could not find the config file」
という箇所があるのですが、このメッセージには問題は無いのでしょうか？

お分かりになる方、よろしくお願いいたします。

---------------------
<warning>Deprecation warning: require.ec-cube/CategoryExtensionB is invalid, it should not contain uppercase characters. Please use ec-cube/categoryextensionb instead. Make sure you fix this as Composer 2.0 will error.</warning>
<warning>Deprecation warning: require.ec-cube/UICube is invalid, it should not contain uppercase characters. Please use ec-cube/uicube instead. Make sure you fix this as Composer 2.0 will error.</warning>
<warning>Deprecation warning: require-dev.mikey179/vfsStream is invalid, it should not contain uppercase characters. Please use mikey179/vfsstream instead. Make sure you fix this as Composer 2.0 will error.</warning>
Failed to initialize global composer: Composer could not find the config file: /var/www/～～～～～～～/public_html/app/Plugin/.composer/composer.json
To initialize a project, please create a composer.json file as described in the https://getcomposer.org/ "Getting Started" section
Reading /var/www/～～～～～～～/public_html/vendor/composer/installed.json
Loading plugin Eccube\Composer\EccubePluginInstallerPlugin_composer_tmp0
Loading plugin PackageVersions\Installer_composer_tmp1
Loading plugin Symfony\Flex\Flex_composer_tmp2
Running 1.8.5 (2019-04-09 17:46:47) with PHP 7.2.29 on Linux / 3.10.0-1062.12.1.el7.x86_64
------------------------

Deprecation warningが出ていますので
PHPのバージョンを7.2に変更されてみては如何でしょうか？

以下の投稿と似たような現象ではないかと思います。
https://xoops.ec-cube.net/modules/newbb/viewtopic.php?viewmode=thread&topic_id=22356&forum=19&post_id=93476#forumpost93476

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[EC-CUBE] EC-CUBEのバージョン4.0.3、新規インストール
[レンタルサーバ]
[OS] Linux
[PHP] 7.3.16
[データベース] MySQL 5.5.64-MariaDB
[WEBサーバ] Apache
[ブラウザ] Google chrome
[導入プラグインの有無] UICube 1.1.1
[カスタマイズの有無] なし
[現象]
「オーナーズストア」->「プラグイン」->「プラグイン一覧」のページに表示された
「カテゴリページ/コンテンツ追加 for EC-CUBE4」のインストールボタンを押して、
インストール完了となるが、その後、一覧には、プラグインを有効にするボタンが
表示されず、インストールボタンが表示されたままになる。

テーブル　dtb_plugin　を見ても、「カテゴリページ/コンテンツ追加 for EC-CUBE4」は
追加されていませんでした。

こちらの掲示板を参考に、php.iniの

・memory_limitを1024M
・max_execution_timeを180

に設定を変更してみましたが状況変わらず。


「キャッシュ管理」でキャッシュ削除後にプラグイン一覧を見ても変わらずインストールボタンが表示されたまま。


デバッグモードで再度インストールしてみましたが状況変わりませんでした。
debugのsite.logのどの箇所を見たらよいのかよくわからないので
「error」というワードで検索したら以下のような記述を見つけましたが、
関係があるのかわかりませんでした。

-----------------------------------------------------------------------
<warning>Deprecation warning: require.ec-cube/CategoryExtensionB is invalid, it should not contain
uppercase characters. Please use ec-cube/categoryextensionb instead. Make sure you fix this as
Composer 2.0 will error.</warning>
<warning>Deprecation warning: require.ec-cube/UICube is invalid, it should not contain uppercase
characters. Please use ec-cube/uicube instead. Make sure you fix this as Composer 2.0 will
error.</warning>
<warning>Deprecation warning: require-dev.mikey179/vfsStream is invalid, it should not contain
uppercase characters. Please use mikey179/vfsstream instead. Make sure you fix this as Composer
2.0 will error.</warning>
Failed to initialize global composer: Composer could not find the config file:
/～～～～～～～～～～～～～～～/public_html/app/Plugin/.composer/composer.json
To initialize a project, please create a composer.json file as described in the
https://getcomposer.org/ "Getting Started" section
--------------------------------------------------------------------
[187.6MiB/2.53s] <warning>Deprecation warning: require.ec-cube/CategoryExtensionB is invalid, it
should not contain uppercase characters. Please use ec-cube/categoryextensionb instead. Make sure
you fix this as Composer 2.0 will error.</warning>
[187.6MiB/2.54s] <warning>Deprecation warning: require.ec-cube/UICube is invalid, it should not
contain uppercase characters. Please use ec-cube/uicube instead. Make sure you fix this as
Composer 2.0 will error.</warning>
[187.6MiB/2.54s] <warning>Deprecation warning: require-dev.mikey179/vfsStream is invalid, it
should not contain uppercase characters. Please use mikey179/vfsstream instead. Make sure you fix
this as Composer 2.0 will error.</warning>
[187.6MiB/2.54s] Failed to initialize global composer: Composer could not find the config file:
/～～～～～～～～～～～～～～～/public_html/app/Plugin/.composer/composer.json
To initialize a project, please create a composer.json file as described in the
https://getcomposer.org/ "Getting Started" section
--------------------------------------------------------------------


原因、この設定を確認などアドバイスいただけませんでしょうか？
よろしくお願いいたします。