ご返信ありがとうございます。

GMOの管理画面では、すでに結果通知プログラムの設定済みとなっております。
ちなみに、SSLはさくらインターネットの無料のSSL証明書を使用しております。

追加で、資料を確認した所、GMO Paygent Gatewayで疎通確認が取れているSSL証明書は、
GlobalSign
DigiCert(旧シマンテック)
日本ジオトラスト
とあり、現在使用しているさくらインターネットの無料のSSLが原因ということも考えられるでしょうか？（Let's Encrypt）

GMO Paygent Gatewayのコントロールパネルで結果通知プログラムの設定を行ってください。

どのURLを設定すれば良いかはプラグインの設定画面から確認できるはずです。

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▼テンプレート
[EC-CUBE] EC-CUBEのバージョン:4.0.3 と　4.0.4
新規インストール
[レンタルサーバ] レンタルサーバ名:さくらインターネット
[PHP] 使用しているPHPのバージョン：7.3
[データベース] 使用しているDB名：MySQL、バージョン：5.7
[導入プラグインの有無] GMO Paygent Gateway
[カスタマイズの有無] 販売するものがコンテンツのため、名前、よみがな、メールアドレス以外の入力を非表示にして、同じ内容になるようにしている。※データが同じというだけで、注文時に内容は送信されるようにしている。
[現象]
GMO Paygent Gatewayのプラグインをインストールして、設定まで終わっている。クレジットカード決済はきちんと動作しているが、auかんたん決済で注文をすると、決済の流れはきちんと進み終了するが、EC-cubeの管理画面で注文情報を見ると注文情報が入っていない。また、受注メールも送信されていない。

エラー通知が届いており、

[送信に失敗しました。 発生例外[javax.net.ssl.SSLHandshakeException]]

とありました。
同様の現象が発生し、解決された方がいらっしゃれば解決方法を教えて頂きたいです。
何卒よろしくお願い致します。