『ご注文完了』ページである /shopping/complete.php というページに到達した時には、購入に関するデータはおそらく破棄されていて、前回のメールテンプレートの時のようにパラメータの値による判別はそのままではできないような気がします。

あくまで一例ですが、その直前の段階である『入力内容の確認』ページ /shopping/confirm.php を担当している
/data/class/pages/shopping/LC_Page_Shopping_Confirm.php
というファイルの
　case 'confirm':
の内部などで、
if ($this->arrForm['payment_method'] == "コンビニ払い") {
　$_SESSION['convini_flag'] = 1;
}
のようにセッションにフラグを持たせておき、『ご注文完了』ページを担当する
/data/class/pages/shopping/LC_Page_Shopping_Complete.php
というファイルのinit()の最後の辺りで、
if ($_SESSION['convini_flag']) {
　$this->convini_msg = "ここにコンビニ払い時のメッセージを記入。";
　unset ($_SESSION['convini_flag']);
}
という形で情報を渡します。
更に、画面を構成するテンプレートである
/data/Smarty/templates/default/shopping/complete.tpl
のご希望の場所に、
<!--{$convini_msg}-->
という形でSmarty変数として上記の文字列を渡してやれば、最終画面で設定したい文言を表示できるのではないでしょうか。

なお、支払い方法は
[payment_id] => 3
[payment_method] => 銀行振込
のように文字列だけでなくIDでも判別できますので、その方がスマートな気もします。