products/list.php宛てに、たとえばabcという文字列を含む検索結果を飛ばしたい場合は

http://ドメイン/products/list.php?name=abc

というリクエストを飛ばすように自分のHPでform作れば
一応行けると思います。

nameの部分が検索キーワードです。
日本語を含む場合はURLエンコードをUTF-8でする必要があるかもしれません。

例）おなべのUTF-8エンコード結果は→%E3%81%8A%E3%81%AA%E3%81%B9


ただ、これだとそのままEC-CUBEのサイトが表示されてしまうので、
結果だけを取得して・・・という場合はXML形式やJSON形式等で取得できるようなAPIみたいなPHPを作ったうえで自分のサイトで展開するか、
もしくはEC-CUBE側に結果しか表示しないlist.phpの代わりとなるページを用意するなどが考えられますね。


なので技術的には「できる」はずです。
その結果だけを得られる、一種のAPIみたいな動きをするPHPは、ご自身のサイト経由でしか結果が得られないようにするなど
セキュリティというか、制限はかけておいた方が無難かと思います。


EC-CUBEの初心者ということなので私が申し上げていることが難しいかもしれませんが、
「敢えて」ですので、ご理解お願いします。

ECサイトは本当にセキュリティにも敏感ではないといけないので、
上記がスラスラわかる状態までスキルを磨かれたときに作ったものを
本番に反映した方が良いかと思います。

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