ざっくりですが、
・FTP情報を基に現在のサーバーからまるごとダウンロードして、新しいレンタルサーバーにアップロードする。

の他に、
・phpMyAdminからエクスポートか、コマンドラインからのmysqldumpなどで、DBをエクスポートし、新しいレンタルサーバーにインポートする。
・config.phpの設定などを見直す。

とかでしょうか。
ドメイン移管なども必要であれば、この部分はサーバー会社に手順をご確認頂くのが良いかと思います。


なお、Smartyでコンストを使わずに画像やリンクを設定していると、パスを修正する必要があるかもしれません。