パラメータにproduct_idは付与されており、値も正しいものです。
しかしながら、ネットワークの挙動を確認したところ、そもそもPOSTが発生していないことが分かりました。

カート追加ボタン押下げ時、JavascriptのfnInCart関数が呼ばれますが
最後のsubmit()までは処理されていることまでは確認しました。
jqueryによるsubmit()が実行されない原因としてinputのnameがsubmitだと～というものがありますたが、これには該当しません。

submitボタンのformのactionは"?"が指定されており、URLを".php"から".html"にした事が原因だと推測し、
action="?" → action="list.php"
のように修正して無事解決しました。

ありがとうございました。