category.twigを見ていただけるとわかると思いますが、カテゴリーは Categories から取り出しています。

これは src/Eccube/Controller/Block/CategoryController.php で用意しています。

新規のブロックで必要になる情報は、以下のようにして用意するのが基本的なカスタマイズ方法です。
・ブロックの作成
・(上記のような)コントローラーの作成
・データベースのdtb_blockで対象ブロックにlogic_flgを立てる
・src/Eccube/ControllerProvider/FrontControllerProvider.phpに定義を追加


また、推奨ではないようですが、twigから直接取り出すこともできます。
Categories が使えないブロックでも、以下のようにすることで category.twigと同じ Categories を
使用することができます。

{% set Categories = app['eccube.repository.category'].getList() %}
※コミュニティでeccube.repository.categoryを検索すると条件を絞る方法が見つかるかも。


最後に、category.twig の配置を変え、中身を希望通りに変更する方式で支障がないのでしたら、
上記のような対応は不要です。

ただし、ハンバーガーメニュー中のカテゴリもcategory.twigから生成されていますので、合わせて
対応してくださいね。