サイトの方を確認しましたが、ブラウザ(Chrome)で複数商品を別々のタブで開いてから、
各タブからそれぞれカートに入れるボタンを押すとカートに複数入りました。

テンプレートも変更してなくて、カートに商品を登録する処理にも問題ないとなると、
商品ページもしくは、カートに関わるプラグインが影響しているということはないでしょうか？

プラグインを適用されているようでしたら、各プラグインひとつずつ無効にして動作を検証して
みてください。

それから商品ページのテンプレートは変更していなくても、商品ページに配置されているブロックや
javascriptなども変更している場合は影響が考えられますので、もし変更しているようでしたら、
そちらもご確認されてはいかがでしょうか。