pudding17 と申します。二人目のゲストは私です、失礼しました

>> saratoga 様

私の場合、DB 作成の際にパスワードを設定せず、インストーラの入力欄には適当な文字列（半角スペースなど）を入れることでインストールできました。

(postgres)$ createuser -A -d eccube_db_user
(postgres)$ createdb -E EUC-JP -U eccube_db_user eccube_db

あまり褒められた設定ではありませんね
質問者様にはお勧めするべきではありませんでした。

>> 質問者様

引用：

インストーラは root@localhost で接続を試みているようです。
インストール画面の DBユーザ名などはどのように入力されておられますでしょうか？

saratoga 様が仰られているように、コンソール上から接続のご確認されてみてはいかがでしょうか。

$ mysql -D eccube_db -u eccube_db_user -h localhost -p
（DB接続パスワードを入力）

これでも接続できない場合、MySQL の設定に原因があるかと思います。
eccube_db_user ユーザへの権限付与はどのようにされておられますか？
以下は権限付与の際のコマンド例です。

mysql> GRANT ALL ON eccube_db.* TO eccube_db_user@localhost IDENTIFIED BY '******';
mysql> flush privileges;

（****** はDB接続パスワードを入力します）

改善をお祈りしております