まずはプラグインを1つずつ無効化して試してみてください。

もしプラグインに原因がなければ、EC-CUBE本体にカスタマイズが行われている可能性が考えられます。

src/Eccube/Service/ShoppingService.php の以下の処理が商品毎の送料を計算している部分になるので、
オリジナルのソースと比較してみると何かわかるかも知れません。

> 引き継いだ私は、全くの素人です。

とのことですが、もし上記のようなプログラムを見せられてもサッパリわからないというような場合は、
費用はかかると思いますがEC-CUBEパートナーの制作会社へ調査・修正をご依頼したほうがよいと思います。

どんなカスタマイズがされているのかを、ここのやり取りだけで推測するのは非常に難しいと思いますので。