お返事ありがとうございます。
「表示されないというのは、サーバが見つかりませんといったエラーでしょうか？
それとも404エラー（ページがみつかりません）といったエラーでしょうか？」
どちらでもありません。

サーバー証明書がwwwなしを認証していないため、[この接続ではプライバシーが保護されません]と言うメッセージが表示されます。

DNSは切り替えておりません。
旧サーバーで既に運用中のサイトのため、ホスツファイルを書き換え、新サーバーを参照しています。

今、ECCUBEはWWWなしを参照。
これをWWW付きを参照できないかと言う疑問です。

WWWなしの新しいサーバー証明書を申請しようかと思っています。