> ECCUBEでは、どのページでも、アクセスする際に、
> Eccube\Applicationクラスの初期化を行っているのでしょうか？

毎回初期化が行われています。セッションのようにページ間をまたがって保持されるものではないです。

> 具体的には、商品詳細ページであるProductController::detailで
> $app[商品情報に関する既存のプロパティ]='新しく保存したい値'
> みたいな形で、ProductController::detailのフックポイントから値を保存したいです。そして、その情報をCartController::indexなど、ショッピングカートの途中で使いたいです。

これをしたいのであれば普通にセッションを使えばよいかと思います。



のように、$app['session']でセッションを扱うことができます。