Order の情報は、未ログイン状態で閲覧できてはならない情報ですので、必ずログイン認証が必要です。

ブラウザでログイン画面を経由せずに認証する方法(Basic 認証や JWT Bearer 認証)は未実装です。
https://github.com/EC-CUBE/eccube-api/issues/29

今のところ、初回は必ずブラウザでログイン画面を経由して認証していただく必要があります。

ちなみに、 redirect_uri に urn:ietf:wg:oauth:2.0:oob を指定しておくとブラウザの画面に Authorization code が表示されますので、コマンドラインなどでも実装しやすいと思います。
http://doc.ec-cube.net/api_authorization#redirect_uri-の指定

Authorization code さえ取得できれば、以下のステップを踏むことで curl のみで order の情報を取得可能です。

1. http://doc.ec-cube.net/api_authorization#2-アクセストークンの取得
2. http://doc.ec-cube.net/api_authorization#4-apiアクセス

APIアクセスする際には Authorization: Bearer <access token> ヘッダが必要です。
Swagger に表示される curl コードには含まれていませんので、上記 API アクセスの項を参考にしてください。