早い返信ありがとうございます。

自己解決いたしました。
pathをご指摘されていたので、path関連で思い当たるふしがありました。
実は過去にpath.ymlを何度か編集していました。
(EC-CUBEの親ディレクトリが変更、ホームURLの/html/を無くすなど...)

何度か表示されなくなってしまったので、やけくそで修正していて、
7行目のroot_urlpathをフルパスで指定していました。。。。

誤
root_urlpath: https://xxxx

修正後
root_urlpath: /

修正したら、確認できる全てのブラウザでセッションcookieが一つ発行されたのを確認でき、
購入ボタンも正常に動作しました。

ブラウザでの動作違いはフロント側のバグにしか見えなかったので、まさかこんなところの間違いでブラウザごとで動きが異なるとは思ってなかったです。

大変助かりました。
誠にありがとうございます。