site.logに*** ERROR *** ==> APPの箇所はありませんか。
その下にException occurred while flushing email queue: Failed to authenticate on SMTP server with usernameのようにemailとかSMTPなどの言葉が入ったメッセージはありませんか？

SMTPサーバのmail.logはレンタルサーバにあります。レンタルサーバ側にloginして、logなどの名前のついたディレクトリを探してください。その下の方にmail.logがあるはずです。
レンタルサーバのサポートにmail.logの場所を確認されるのも良いと思います。

mail.logの中を操作した時刻やグローバルアドレスで検索するとなんらかのメッセージがあります。