[EC-CUBE]EC-CUBE　4.0.2
[レンタルサーバ]　さくらインターネット共用
[PHP]　　　　　　 PHP 7.3.7 (モジュール版)
[データベース]　　MySQL 5.7
[導入プラグインの有無]カテゴリページ／コンテンツ追加 for EC-CUBE4、ソーシャルボタンを追加、関連商品プラグイン、UICube
※他にテストサイトでインストールしたものがあります。

横入り失礼します。
自分も同様の現象でこちらに書き込ませていただきます。

テストサイト用ではプラグインのインストールも有効化もできるのですが、本番サイトではインストールしても有効化の表示がされません。
順番は先にテストサイトでプラグインを複数インストールした後、本番サイトにインストールしようとしたが、インストールできない状態になりました。
また、既にインストールされていて有効化しようとすると、エラー画面になりログインし直すようになります。

試したこと
・memory_limitが128M→memory_limitを512Mに設定
・max_execution_timeが30→max_execution_timeを180に設定
・デバッグモード
・PHPのバージョンを7.2にする

↓

わからなかったので、別DBを作成して再インストールしました。
お手数をお掛けしました。