その後、検索した情報から
.heaccessに下記を記述して、/eccubeアドレスを消すことはできたのですが、会員ログインができなくなってしまいました。

RewriteEngine on
RewriteBase /
RewriteRule ^$ eccube/ [L]
RewriteCond %{REQUEST_FILENAME} !-f
RewriteCond %{REQUEST_FILENAME} !-d
RewriteRule ^(.+)$ eccube/$1 [L]

/eccubeアドレスを追加してアクセスするとログインができるのですが
/eccubeを外したURLのページに行くと、ログアウト状態になってしまいます。

この場合、設定のどちらを変更すればログインができるようになりますでしょうか。
恐縮ですが、教えていただけますと幸いです。