ECCUBEは、SSLでのアクセスかどうかをサーバ変数の[https]で判定していると思うのですが、
お名前.comのレンタルサーバでは、SSL接続にも関わらずその変数に値がセットされていないのかもしれません。

さくらのレンタルサーバも2018/3月以前はサーバ変数[https]に値がセットされていなかったようですが、
/html/.htaccessに以下のような記述があって、コメント化を解除する事で、SSLでの接続か判定できるようになっていました。
# さくらのレンタルサーバでサイトへのアクセスをSSL経由に制限する場合の対応
# RewriteCond %{HTTP:x-sakura-forwarded-for} !^$
# RewriteRule ^(.*) - [E=HTTPS:on]

サーバの仕様に関わるところかと思いますので、
お名前.comのサポートに確認されてみたほうがよいかと思います。

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株式会社シロハチ
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