EC-CUBEからではなくメールソフト(Thunderbird等)を使用したメール送信でauメール・S!メールに届くのかを確認してEC-CUBEが原因なのかを切り分ける。
もし届かないようならEC-CUBEは原因ではない。また、エラーメールが返ってくるはずなので送信相手の技術仕様に適合しているかを確認する。不味そうな部分があれば修正する。

Message-Id が @localhost.localdomain になっている場合はMTA(Mail Transfer Agent)の設定がおかしいのでレンタルサーバのサポートに問い合わせを。

> また、ご教授いただいたMessage id を該当する箇所ファイル、記述箇所すべて（会員登録やパスワード変更など）にMessageIDを付与してみたのですが、会員登録に進んだ際に「システムエラー」が起きてしまいまい、またメールも送信されておりませんでした。
/src/Eccube/Service/MailService.php を修正したということでしょうか？
多分、PHPのエラーだと思いますがログがないと分りませんね。