3tilesさんが提示されたリンク先の対応(ECCUBE_COOKIE_PATH=/に修正する)で解決するのではないかと思います。

あくまで予想ですが、
管理画面にログインできないだけでなく、カート投入やフロントの会員ログインもできない状態になっているのではないでしょうか？
(セッションが保持されない状態)

セッションが保持されないのであれば、原因は
ECCUBEを公開ディレクトリのサブディレクトリにインストールして、
そのディレクトリをマルチドメインの公開ディレクトリに指定されたのではないでしょうか？
例えば、/eccubeにECCUBEをインストールしマルチドメインの公開ディレクトリに指定した場合、
以下のようにECCUBEのトップページのURLの階層が変わっていたのではないですか？

さくらサーバのドメインの場合
http://hogehoge.sakura.ne.jp/eccube/
独自ドメインの場合
http://hogehoge.com/

ECCUBEをインストールした直下の.envにECCUBE_COOKIE_PATHという設定がありますが、
ここの値がCookieのpath属性に使用されます。
例えば、先程の例でいうと
ECCUBEのインストール時に
ECCUBE_COOKIE_PATH=/eccube
という値がセットされてしまい、path属性の仕様に基づき
http://ドメイン/eccube
以下のページを表示した時しかCookieがブラウザからサーバへ送出されません。
PHPがCookieの値を元にセッションの保持を判断している為、
http://hogehoge.sakura.ne.jp/eccube/
ではCookieが送信されて、セッションが有効となる。
http://hogehoge.com/
ではCookieが送信されず、セッションが無効となる。
という状態になっているのではないかと思います。

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株式会社シロハチ
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