メールサーバ関連の設定に原因があるのではないでしょうか？
メールサーバはどのサーバを利用されるのでしょうか？
（ECCUBEをインストールしているサーバ？外部サーバ？）
.envファイルのMAILER_URLはどのようになっていますか？

デフォルトの場合、ECCUBEをインストールしているサーバからメールを送信しようとします。
(MAILER_URLはlocalhostを指定)
提示いただいた情報だとaaa.jpドメインのサーバからメールが送信されている事になります。

ECCUBEのショップ設定でメールアドレスを設定できますが
そこにbbb.comドメインのメールアドレスをセットすると、
見た目はbbb.comドメインから送信されているように見えるが中身はaaa.jpドメインのサーバからメールが送信されている状態になってしまい、
なりすましメールと判断されメールが受信できないという事が起こりえます。

あくまで予想ですが管理者の方の受信環境のセキュリティがしっかりしている為、
メール関連の設定がきちんと処理されていていないと受信できないのではないでしょうか？
ECCUBE外の事になりますがDNSへのSPFレコードの設定等が必要になってくるかもしれません。

一番手っ取り早いのはさくらインターネット(ビジネスプラン）のサーバでaaa.jpドメインのメールアカウントを作成し、
そのアカウントを管理者の方に利用してもらう事なのではないでしょうか？

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株式会社シロハチ
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